[每日算法]关路灯

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了 n 盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为 1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入格式

第一行是两个数字n（表示路灯的总数）和 c（老张所处位置的路灯号）；

接下来 n 行，每行两个数据，表示第 1 盏到第 n 盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式

一个数据，即最少的功耗（单位：J，1J=1W×s）。

输入输出样例

样例#1	输出#1
5 3 2 10 3 20 5 20 6 30 8 10	270

此时关灯顺序为 3 4 2 1 5。

说明/提示

1≤n≤50,1≤c≤n。

题解

这是个区间形的动态规划问题。老张起始位置的路灯可以被直接关闭，可以作为初始状态，即fx【c】【c】【0】 = 0，fx【c】【c】【1】 = 0;然后就可以进行填表，从每个时刻开始，都有向左和向右两种方案，那么这时候就需要采取功耗较低的方案，即状态转移方程为：

第一种情况是往左边走，根据状态转移方程获取消耗较小值fx【j】【k】【0】 = min(fx【j + 1】【k】【0】 + (lamps【j + 1】.pos - lamps【j】.pos) (sum【j】 + sum【n】 - sum【k】),fx【j + 1】【k】【1】 + (lamps【k】.pos - lamps【j】.pos) (sum【j】 + sum【n】 - sum【k】));

第二种情况为往右边走到尽头，根据耗散再次取最小值fx【j】【k】【1】 = min(fx【j】【k - 1】【0】 + (lamps【k】.pos - lamps【j】.pos) (sum【j - 1】 + sum【n】 - sum【k - 1】), fx【j】【k - 1】【1】 + (lamps【k】.pos - lamps【k - 1】.pos) (sum【j - 1】 + sum【n】 - sum【k - 1】));

源代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

struct Lamp
{
    int pos;        //位置
    int w;          //功率
    Lamp() {};
    Lamp(int p, int _w) :pos(p), w(_w) {};
};

int sum[51];      //sum存的是关闭从0~i盏路灯的消耗值
int fx[51][51][2];//fx[i][j][k]表示i~j盏路灯均被点亮，且当前处于k位置的最小功耗（k表示老张在左端点或者右端点）
Lamp lamps[51];   //lamps存储每盏路灯的位置及功率

int main()
{
    int i, j, k;
    int n, c;       //n为路灯总数，c为老张所处的路灯位置
    cin >> n >> c;
    int p, w;
    //数据读入内存
    for (int i = 1;i <= n;i++)
    {
        cin >> p >> w;
        Lamp node(p, w);
        lamps[i] = node;
        sum[i] = sum[i - 1] + node.w;       //默认为顺序关闭
    }

    //初始状态消耗均设置为10000(近似＋∞)
    for (i = 0;i < 51;i++)
    {
        for (j = 0;j < 51;j++)
        {
            for (k = 0;k < 2;k++ )
            {
                fx[i][j][k] = 10000;
            }
        }
    }

    //老张起始位置的路灯可以被直接关闭，为初始状态
    fx[c][c][0] = 0;
    fx[c][c][1] = 0;
    for (int i = 2;i <= n;i++)
    {
        for (int j = 1;j + i - 1 <= n;j++)
        {
            k = j + i - 1;
            //第一种情况，是往左边走，根据状态转移方程获取消耗较小值
            fx[j][k][0] = min(fx[j + 1][k][0] + (lamps[j + 1].pos - lamps[j].pos) * (sum[j] + sum[n] - sum[k]),
                fx[j + 1][k][1] + (lamps[k].pos - lamps[j].pos) * (sum[j] + sum[n] - sum[k]));
            //第二种情况，往右边走到尽头，根据耗散再次取最小值
            fx[j][k][1] = min(fx[j][k - 1][0] + (lamps[k].pos - lamps[j].pos) * (sum[j - 1] + sum[n] - sum[k - 1]),
                fx[j][k - 1][1] + (lamps[k].pos - lamps[k - 1].pos) * (sum[j - 1] + sum[n] - sum[k - 1]));
        }
    }
    //最后一次选择左边或者右边较小的那一个
    int ressult = min(fx[1][n][0], fx[1][n][1]);

    cout << ressult;
    return 0;
}